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SciPy 怎么做曲线拟合？

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文章导读
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📋 目录
  1. A 曲线拟合的工作原理？
  2. B 曲线拟合的类型
  3. C 理解结果
  4. D 曲线拟合 vs 插值
  5. E SciPy 的曲线拟合函数
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SciPy - 曲线拟合

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曲线拟合 是构建一个数学函数的过程，该函数最接近一组数据点。在 SciPy 中，来自 scipy.optimize 模块的 curve_fit() 函数常用于将给定的模型（通常是非线性的）拟合到数据上。其目标是找到模型的最优参数，以最小化数据与模型预测值之间的差异，即残差。

曲线拟合的工作原理？

众所周知，曲线拟合 是找到一条最能描述一组数据点之间关系的曲线的过程。详细来说，其工作原理如下 −

  • 数据点： 数据包括自变量 和因变量 。这些点代表观测值或测量值。
  • 模型选择： 选择一个数学模型，如线性、多项式、指数等，来表示潜在趋势。该模型具有需要确定以拟合数据的参数。
  • 目标： 目标是找到模型的参数，使得曲线最小化预测值 model() 与观测数据 之间的差异，即误差。
  • 误差计算： 可以使用损失函数来计算误差，通常是平方误差和 (SSE)，公式如下 − 
    SSE = (observed - model)2

    这确保较大的差异对总误差的贡献更大。

  • 优化： 应用优化技术（如最小二乘法）来调整模型参数，以最小化误差。
  • 曲线拟合工具： SciPy 的 curve_fit() 函数被广泛使用。它接受模型函数、数据以及参数的初始猜测，并返回拟合数据的参数。

曲线拟合的类型

根据数据的性质和使用的模型，有多种曲线拟合技术。这些技术可以从简单的线性拟合到更复杂的非线性模型。以下是 SciPy 中常用的主要曲线拟合类型 −

曲线拟合类型 定义 模型方程 使用场景
线性 一种将直线拟合到数据点的方法，显示变量之间恒定的变化率。 y = ax + b 当关系近似线性时。
多项式 使用多项式方程拟合数据点的方法，能够捕捉更复杂的关系。 y = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0 用于平滑的非线性关系（如二次、三次）。
指数 当数据显示指数增长或衰减时使用的拟合方法，常見于自然现象。 y = a ebx + c 指数增长或衰减的数据。
对数 一种建模变化率随时间减少的关系的拟合方法。 y = a log(x) + b 当自变量增加时增长放缓。
幂律 一种建模一个变量作为另一个变量幂次变化的数据的方法，常用于尺度不变现象。 y = axb 当一个变量作为另一个变量的幂次变化时。
S 形（Logistic） 一种拟合 S 形曲线的方法，常用于趋于饱和的增长过程。 y = a / (1 + e-b(x - c)) 用于增长或饱和模型中的 S 形曲线。
高斯 一种建模钟形分布数据的方法，典型用于统计分析。 y = a e-(x - b)2 / (2c2) 钟形数据分布（正态分布）。
有理函数 一种使用多项式方程比率拟合的方法，用于描述变量之间更复杂的关系。 y = (an xn + ... + a0) / (bm xm + ... + b0) 需要多项式比率的更复杂关系。

理解结果

理解曲线拟合的结果涉及解释拟合过程的输出，并评估模型描述数据的好坏程度。

  • 拟合参数： 估计的参数使实际数据与模型函数预测值之间的差异最小化。
  • 协方差矩阵： 协方差矩阵提供了参数估计准确性的洞察。对角元素表示每个参数的方差，帮助我们理解拟合值的置信度。

曲线拟合 vs 插值

曲线拟合 专注于为预测目的建模变量之间的关系，而插值则关注在已知数据点之间估计值，确保在观测范围内具有精度。这两种技术之间的选择取决于分析目标和数据的性质。

以下是曲线拟合和插值的比较 −

方面 曲线拟合 插值
定义 找到一条最能代表数据点之间关系的曲线。 在已知数据点之间估计值。
目的 建模潜在趋势以进行预测和洞察。 在已知范围内提供精确估计。
方法 最小二乘拟合、多项式拟合、回归分析。 线性插值、多项式插值、样条插值。
数学方法 最小化拟合曲线与数据点之间的误差。 构造新点，确保函数通过已知数据。
适用性 用于理解关系和泛化（例如，回归）。 用于精确值估计（例如，数值方法）。
外推 允许超出观测数据范围的外推，但需谨慎。 不涉及外推，估计仅限于已知数据范围。
输出 一条平滑曲线，可能不通过所有数据点。 一条精确通过所有已知数据点的曲线。

SciPy 的曲线拟合函数

我们可以使用函数 scipy.optimize.curve_fit() 在 SciPy 中执行曲线拟合。

序号 函数 & 描述
1 scipy.optimize.curve_fit()
使用非线性最小二乘法将函数拟合到数据。允许用户定义自定义模型进行拟合，并返回最能描述数据的优化参数。

以下示例演示了如何使用 curve_fit() 函数将指数衰减函数拟合到数据 −

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# 定义模型函数（指数衰减）
def model_func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

# 生成合成数据（带噪声的指数衰减）
x_data = np.linspace(0, 4, 50)
y_data = model_func(x_data, 2.5, 1.3, 0.5) + np.random.normal(0, 0.2, size=x_data.shape)

# 执行曲线拟合
# 参数 a, b, c 的初始猜测是可选的，但可以加速收敛
params, params_covariance = curve_fit(model_func, x_data, y_data, p0=[2, 1, 0])

# 从拟合曲线生成数据
y_fitted = model_func(x_data, *params)

# 绘制原始带噪声数据和拟合曲线
plt.scatter(x_data, y_data, label='Data', color='red')
plt.plot(x_data, y_fitted, label='Fitted Curve', color='blue')

# 添加标签和标题
plt.title('Exponential Decay Curve Fitting using SciPy')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 打印拟合参数
print(f"Fitted parameters: a = {params[0]}, b = {params[1]}, c = {params[2]}")

以下是 SciPy 中曲线拟合的输出 −

Curve fitting Example