融合树
Fusion Tree（融合树）是高级数据结构的一部分，用于维护有序元素集合。
在有限宇宙中，如果每个输入整数的大小小于 2w，且这些数字为非负数，它实现了对 W-bit 整数的关联数组。
它结合了 B-Tree 和 hash table，有助于降低树中 insertion（插入）、deletion（删除）和 searching（搜索）等操作的时间复杂度。
Fusion Tree 的工作原理
实现融合树时考虑以下因素：
- Bit manipulation（位操作）：树从存储的整数中提取特定位并处理它们，以加速操作。
- Parallelism（并行性）：它使用 64 或 128 位机器字，同时比较和操作多个键。
- Sketching（草图）：草图是将整数总结为更小表示（称为 sketches）的过程，这些表示可用于比较整数。通过提取整数中最重要的位来实现，这减少了通常比较两个整数所需的比较次数。
- Precomputed Operations（预计算操作）：它预计算树中频繁使用的操作，如 min（最小值）、max（最大值）、successor（后继）和 predecessor（前驱）。
Fusion Tree 的表示
Fusion tree 表示为高度为 logWn 的 B-tree，其中 n 是树中元素的数量。
这里，W 是整数中的位数。
每个节点可以容纳多达 B+1 个子节点，就像 B-tree 一样，其中 B 是节点的最大子节点数。
Fusion Tree 的操作
可以在融合树上执行以下操作：
- Insertion（插入）
- Deletion（删除）
- Searching（搜索）
Fusion Tree 的实现
Fusion Tree 中插入和创建元素的算法
2. 创建一个根节点为 NULL 的 fusion tree 3. 将元素插入树中 4. 如果树为空，创建一个新节点并将元素插入其中 5. 如果树不为空，找到合适的节点来插入元素 6. 如果节点已满，拆分节点并将元素插入合适的节点中 7. 重复步骤 5 和 6，直到所有元素都被插入
Fusion Tree 中插入元素的代码
现在让我们看看如何在 C、C++、Java 和 Python 中实现 fusion tree：
C
C++
Java
Python
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define W 32 // 字长（整数中的位数）
#define B 4 // 每个节点的最大键数
struct node {
int keys[B]; // 节点中的键
struct node *child[B + 1]; // 子节点指针（B个键对应B+1个指针）
int n; // 节点中的键数
int leaf; // 如果节点是叶子节点则为1，否则为0
};
// 树的根节点
struct node *root = NULL;
// 创建新节点的功能
struct node *createNode() {
struct node *newNode = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));
newNode->n = 0;
newNode->leaf = 1;
for (int i = 0; i <= B; i++) {
newNode->child[i] = NULL;
}
return newNode;
}
// 如果子节点已满则拆分子节点
void splitChild(struct node *parent, int i, struct node *fullChild) {
struct node *halfChild = createNode();
halfChild->leaf = fullChild->leaf;
halfChild->n = B / 2;
// 将 fullChild 的最后 B/2 个键移动到 halfChild
for (int j = 0; j < B / 2; j++) {
halfChild->keys[j] = fullChild->keys[j + B / 2];
}
// 将 fullChild 的子节点指针移动到 halfChild
if (fullChild->leaf == 0) {
for (int j = 0; j < B / 2 + 1; j++) {
halfChild->child[j] = fullChild->child[j + B / 2];
}
}
fullChild->n = B / 2;
// 将中间键从 fullChild 移动到 parent
for (int j = parent->n; j > i; j--) {
parent->child[j + 1] = parent->child[j];
}
parent->child[i + 1] = halfChild;
for (int j = parent->n - 1; j >= i; j--) {
parent->keys[j + 1] = parent->keys[j];
}
parent->keys[i] = fullChild->keys[B / 2];
parent->n++;
}
// 在非满节点中插入键（当节点未满时）
void insertNonFull(struct node *current, int key) {
int i = current->n - 1;
if (current->leaf) {
// 找到插入键的位置
while (i >= 0 && current->keys[i] > key) {
current->keys[i + 1] = current->keys[i];
i--;
}
current->keys[i + 1] = key;
current->n++;
} else {
// 找到插入键的正确子节点
while (i >= 0 && current->keys[i] > key) {
i--;
}
i++;
if (current->child[i]->n == B) {
// 如果子节点已满，拆分它
splitChild(current, i, current->child[i]);
if (current->keys[i] < key) {
i++;
}
}
insertNonFull(current->child[i], key);
}
}
// 将键插入树中
void insert(int key) {
if (root == NULL) {
root = createNode();
root->keys[0] = key;
root->n = 1;
} else {
if (root->n == B) {
// 如果根节点已满，拆分它
struct node *newNode = createNode();
newNode->child[0] = root;
root = newNode;
splitChild(root, 0, newNode->child[0]);
}
insertNonFull(root, key);
}
}
// 显示树
void display(struct node *root) {
if (root == NULL) {
return;
}
for (int i = 0; i < root->n; i++) {
if (root->leaf == 0) {
display(root->child[i]);
}
printf("%d ", root->keys[i]);
}
if (root->leaf == 0) {
display(root->child[root->n]);
}
}
// 主函数
int main() {
insert(10);
insert(20);
insert(30);
insert(40);
printf("Fusion Tree keys: ");
display(root);
return 0;
}
输出
以下是上述代码的输出结果：
Fusion Tree keys: 10 20 30 40
// C++ 程序实现 Fusion Tree
#include <iostream>
using namespace std;
#define W 32
#define B 4
struct node {
int keys[B];
struct node *child[B + 1];
int n;
int leaf;
};
struct node *root = NULL;
struct node *createNode() {
struct node *newNode = new node;
newNode->n = 0;
newNode->leaf = 1;
for (int i = 0; i <= B; i++) {
newNode->child[i] = NULL;
}
return newNode;
}
void splitChild(struct node *parent, int i, struct node *fullChild) {
struct node *halfChild = createNode();
halfChild->leaf = fullChild->leaf;
halfChild->n = B / 2;
for (int j = 0; j < B / 2; j++) {
halfChild->keys[j] = fullChild->keys[j + B / 2];
}
if (fullChild->leaf == 0) {
for (int j = 0; j < B / 2 + 1; j++) {
halfChild->child[j] = fullChild->child[j + B / 2];
}
}
fullChild->n = B / 2;
for (int j = parent->n; j > i; j--) {
parent->child[j + 1] = parent->child[j];
}
parent->child[i + 1] = halfChild;
for (int j = parent->n - 1; j >= i; j--) {
parent->keys[j + 1] = parent->keys[j];
}
parent->keys[i] = fullChild->keys[B / 2];
parent->n++;
}
voidFusion Tree 中的搜索和删除操作
Search 和 delete 操作在 fusion tree 中的实现类似于插入操作。您可以通过修改上面的代码来实现这些操作。
Search 操作用于在树中查找元素，delete 操作用于从树中删除元素。
Fusion Tree 中Search 和 Delete 元素的算法
以下是在 fusion tree 中实现搜索和删除操作的步骤：
2. 在树中搜索元素
3. 如果找到元素，则从树中删除该元素
4. 如果未找到元素，则显示消息 "Element not found"
Fusion Tree 中搜索和删除元素的代码
现在让我们看看如何在 C、C++、Java 和 Python 中实现 fusion tree 的搜索和删除操作：
C
C++
Java
Python
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define W 32
#define B 4 // The branching factor (maximum number of keys per node)
struct node {
int keys[B]; // Array to store keys
struct node *child[B + 1]; // Array of child pointers
int n; // Number of keys in the node
int leaf; // Flag to check if it's a leaf node
};
struct node *root = NULL;
// Create a new node
struct node* createNode() {
struct node *newNode = (struct node*)malloc(sizeof(struct node));
newNode->n = 0;
newNode->Fusion Tree 的时间复杂度
融合树（fusion tree）上操作的时间复杂度如下：
- 插入（Insertion）: O(logWn)
- 删除（Deletion）: O(logWn)
- 搜索（Searching）: O(logWn)
这里，n 是树中元素的数量，W 是字长（word size）。
Fusion Tree 的应用
融合树用于各种需要存储大量元素并高效执行插入、删除和搜索等操作的应用场景。融合树的一些应用包括：
- 数据库索引（Database indexing）
- 文件系统（File systems）
- 地理信息系统（Geographic information systems）
- 网络路由（Network routing）
- 计算机图形学（Computer graphics）
这些是融合树用于高效存储和管理大型数据集的一些应用场景。
结论
在本章中，我们学习了融合树（fusion trees），这是一种用于高效存储大量元素的数据结构。我们讨论了融合树的结构、其插入、删除和搜索等操作，以及这些操作的时间复杂度。我们还了解了如何在 C、C++、Java 和 Python 中实现融合树，并在其上执行搜索和删除操作。我们还讨论了融合树在各个领域的应用。